English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

2sin^2(x)+sin^3(x)-1=0

الحلّ

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

الحلّ

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

درجات

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 38.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

sin (x) = u :

على افتراض أنّ

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0 : u = - 1, u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

u^{3} + 2 u^{2} - 1

حلّل إلى عوامل:

(u + 1) (u^{2} + u - 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 1

استعمل نظريّة الجذر الكسريّ

u + 1

هو جذر للتعبير، إذًا فلتخرج

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

لذلك، افحص الأعداد الكسريّة التالية

a_{n} : 1

القواسم لـ

a_{0} : 1,

القواسم لـ

a_{0} = 1, a_{n} = 1

= (u + 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + u - 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1}

اقسم:

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

u^{3} + 2 u^{2} - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{u ^{3}}{u} = u^{2} : u + 1

والمقام

Quotient = u^{2}

u^{3} + u^{2} : u^{2}

بـ

u + 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

u^{3} + 2 u^{2} - 1

من

u^{3} + u^{2}

اطرح

باقي = u^{2} - 1

لذلك

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

= u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

\frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

اقسم:

\frac{u ^{2} - 1}{u + 1} = u + \frac{- u - 1}{u + 1}

u^{2} - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{u ^{2}}{u} = u : u + 1

والمقام

Quotient = u

u^{2} + u : u

بـ

u + 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

u^{2} - 1

من

u^{2} + u

اطرح

باقي = - u - 1

لذلك

\frac{u ^{2} - 1}{u + 1} = u + \frac{- u - 1}{u + 1}

= u^{2} + u + \frac{- u - 1}{u + 1}

\frac{- u - 1}{u + 1}

اقسم:

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

- u - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{- u}{u} = - 1 : u + 1

والمقام

Quotient = - 1

- u - 1 : - 1

بـ

u + 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

- u - 1

من

- u - 1

اطرح

باقي = 0

لذلك

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

= u^{2} + u - 1

= (u + 1) (u^{2} + u - 1)

(u + 1) (u^{2} + u - 1) = 0

حلّ عن طريق مساواة العوامل لصفر

u + 1 = 0 or u^{2} + u - 1 = 0

u + 1 = 0

حلّ:

u = - 1

u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

u = - 1

u = - 1

u^{2} + u - 1 = 0

حلّ:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

u^{2} + u - 1 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

u^{2} + u - 1 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = 1, b = 1, c = - 1

لـ

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

1^{a} = 1

فعّل القانون

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

- (- a) = a

فعّل القانون

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 :

اضرب الأعداد

= 1 + 4

1 + 4 = 5 :

اجمع الأعداد

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 1 - 5}{2}

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

The solutions are

u = - 1, u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

u = sin (x)

استبدل مجددًا

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

sin (x) = - 1 :

حلول عامّة لـ

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Apply trig inverse properties

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2} :

حلول عامّة لـ

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2} :

لا يوجد حلّ

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

لا يوجد حلّ

وحّد الحلول

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

أظهر الحلّ بالتمثيل العشريّ

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

2cos^2(x)=3cos(x)-1

2 cos^{2} (x) = 3 cos (x) - 1

sin^2(x)-4sin(x)+4=0

sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 4 = 0

3cos^2(x)-10cos(x)+3=0

3 cos^{2} (x) - 10 cos (x) + 3 = 0

(m+1)sin(x)+2-m=0

(m + 1) sin (x) + 2 - m = 0

sin^5(x)+sin(x)+2sin^2(x)=1

sin^{5} (x) + sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 1